Eng. Sérgio Pinheiro Medeiros - Edição n. 4 - Dezembro/96

A partir da integração do módulo de placas MIX com os sistemas Cad/TQS, tornou-se possível a elaboração do projeto completo de todo um pavimento, envolvendo o processo de cálculo, dimensionamento e detalhamento de lajes e vigas, via método dos elementos finitos.

Este artigo tem como objetivo apresentar as principais características dos elementos de placas implementados no MIX-TQS (DKMQ e DKMT), propostos por Irwan Katili [1], e comentar alguns dos seus aspectos mais importantes.

Introdução

Desde o início do desenvolvimento do método dos elementos finitos, um considerável esforço de pesquisa tem sido dispendido na análise de placas e cascas. Várias abordagens, teorias e princípios variacionais foram usados para formular elementos de placas e cascas. Foram necessários quase 30 anos de pesquisas para que no final da década de 80 surgissem os primeiros elementos de placa confiáveis, precisos e eficientes do ponto de vista computacional.

Inicialmente os elementos de placa foram formulados usando-se a teoria de Kirchhoff. A principal hipótese desta teoria é que "normais a superfície média antes da deformação da placa permanecem retas e normais a esta superfície após a deformação".

Como nesta hipótese as deformações devido a cortante não são consideradas, o domínio da teoria de Kirchhoff restringe-se a análise de placas finas. No entanto, mesmo nestas análises, sérias dificuldades são encontradas na formulação dos elementos finitos via deslocamentos. O funcional da energia potencial gerado a partir da teoria de Kirchhoff embute derivadas de segunda ordem. Tal presença impõe como uma condição suficiente para a convergência do método dos elementos finitos que exista, no domínio da placa, não apenas continuidade da variável deslocamento transversal da superfície média mas também de suas derivadas (i.e. a função definida a partir das funções de interpolação dos elementos finitos seja de classe C1.

Em conseqüência, elementos baseados na teoria mais refinada de Mindlin-Reissner foram, pouco a pouco, ganhando a preferência devido a sua ordem baixa (requer somente continuidade C0) e a possiblidade de modelar tanto placas finas quanto placas moderadamente espessas. A principal hipótese desta teoria é que "normais a superfície média antes da deformação da placa permanecem retas mas não necessariamente normais a esta superfície após a deformação". Com essa hipótese, o campo de deslocamentos pode ser especificado de maneira única através do deslocamento transversal dos pontos da superfície média e de 2 ângulos que definem as rotações médias das normais a esta mesma superfície. Essas 3 váriaveis, deslocamento transversal e as 2 rotações, são independentes.

Outros aspectos importantes tornam a teoria Mindlin-Reissner mais interessante que a de Kirchhoff: a teoria de Mindlin-Ressner está mais próxima do modelo 3D. Ela considera os efeitos da deformação devido à cortante e, nas arestas da placa, as 3 condições cinemáticas podem ser especificadas, em contraste com a teoria de Kirchhoff, onde somente o deslocamento transversal e sua derivada normal podem ser especificados. O último aspecto torna mais fácil evitar as limitações inerentes aos elementos baseados na teoria de placa de Kirchhoff (overconstraining effects e resultados paradoxais que surgem em placas com domínios poligonais). Outro ponto a se considerar é que com elementos do tipo Mindlin-Reissner o engenheiro pode também obter informações mais confiáveis sobre o estado de tensões próximo ao contorno de placas, desde que use condições de contorno apropriadas.

No entanto, vários problemas surgiram no desenvolvimento de elementos baseados na teoria de Mindlin-Reissner. O mais conhecido é o efeito denominado em inglês de shear locking (enrijecimente exagerado), que ocorre quando a espessura da placa a ser analisada tende a zero, implicando o fornecimento de resultados incorretos para placas finais. Outros tipos de mal-condicionamentos numéricos, deficiência na matriz do elemento (rank deficiency) e baixa precisão devido a erros teóricos na formulação foram detectados em muitos dos elementos propostos. Muitos desses problemas são discutidos nas referências [2].

Diversas técnicas foram empregadas com a finalidade de remover o problema de shear locking nos elementos baseados na teoria de Mindlin-Reissner e estender sua aplicação também às placas finas. Numa delas, conhecida com o Discrete Kirchhoff Plate Theory, impõe-se que a hipótese de Kirchhoff seja atendida em pontos discretos das arestas dos elementos.

Os elementos DKMQ (Discrete Kirchhoff-Mindlin Quadrilateral Element) e DKMT (Discrete Kirchhoff-Mindlin Triangle Element) foram propostos por Irwan Katili em 1993 [1] e, como sugerem suas denominaçöes, fazem uso da teoria de Mindlin-Reissner e da técnica discrete Kirchhoff.

Características dos Elementos

A técnica discrete kirchhoff pode ser considerada como um caso particular de uma teoria mais ampla conhecida na literatura como Displacement Field with Discrete Bending Contraints Model.

O primeiro elemento de sucesso desta linha foi o Discrete Kirchhoff Triangle (DKT) proposto por Batoz, Bathe e Ho [3] em 1980 para anélise de placas finas. Depois, em 1989, Batoz e Ladeur [4] desenvolveram o elemento DST-BL (Discrete Shear Triangle), considerado como uma extensão do DTK para placas espessas. No entanto, o DST-BL não passa no patch test (que testa a capacidade de o elemento representar estados de tensões constantes) e apresenta erros no cálculo dos valores de Mx, My e Mxy em alguns casos de placas espessas. Para contornar tais problemas, Batoz e Katili [5] propuseram em 1992 uma nova versão desse elemento, o DST-BK. Este elemento supera as deficiências do seu antecessor mas não converge para os resultados do DKT no caso de placas finas. Finalmente em 1993, Katili propôs os elementos DKMQ (Discrete Kirchhoff-Mindlin Quadrilateral Element) e DKMT (Discrete Kirchhoff-Mindlin Triangle Element), que geometricamente são quadrilátero de 4 nós e triângulo de 3 nós, respectivamente. Eles não apresentam o fenômeno de shear locking, não possuem modos de corpo rigido espúrios, passam no patch test e a compatibilidade entre os elementos é sempre satisfeita. Como consequência, são capazes de modelar eficientemente tanto placas finas com o placas moderadamente espessas.

As funções de formas usadas no elemento DKMQ para as rotações são capazes de reproduzir todos os modos de corpo rigido e todas as condições de curvaturas constantes de maneira exata. Além das funçöes de interpolação necessárias a representação de tais estados. Outras de ordem mais elevada complementam as funções de forma das rotações. Deste modo, nas arestas do elemento, as rotações tangencial e normal variam de forma linear e quadrática, respectivamente.

As deformações de cisalhamento transversais são consideradas constantes ao longo das arestas do elemento. No interior do elemento supõe-se que tais deformações variam linearmente. Essa característica faz com que neste elemento os valores das cortantes apresentem uma convergência mais lenta do que os dos momentos e, obviamente, dos deslocamentos.

Refefências Bibliográficas

l. I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner theory and assumed shear strain felds - Parts I and II - Int. j. numer. methods eng., 36, 1859-1883 and 1885-1908.

2. T.J.R. Hughs, The Finite Element Method, Prentice-Hall Inc.

3. J.L. Batoz, K.J. Bathe and L.W. Ho, A study of three node triangular plate bending elements - Int. j. numer. methods eng., 15, 1771-1812 (1980)

4. J.L. Batoz and P. Lardeur, A discrete shear triangular nine d.o.f. element for the analysis of thick to very thin plates - Int. j. numer. methods eng., 28, 533-560 (1989)

5. J.L. Batoz and I. Katili, On simple triangular Reisser/Mindlin plate element based on incompatible modes and discrete contramints - Int. j. numer. methods eng.,35, 1603-1632 (1992)